[2014년 대진고]

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[1학년 2학기 기말]

첫째항이 [eqn: -22], 공차가 [eqn: 3]인 등차수열에서 처음으로 양수가 되는 항은 제 몇 항인지 구하면?

③

① 제[eqn: 7]항	② 제[eqn: 8]항	③ 제[eqn: 9]항

④ 제[eqn: 10]항	⑤ 제[eqn: 11]항

[eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{k} =30], [eqn: sum _{k=1} ^{10} b _{k} =20]일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{10} (3a _{k} -2b _{k} -1)]의 값은?

④

① [eqn: 70]	② [eqn: 60]	③ [eqn: 50]

④ [eqn: 40]	⑤ [eqn: 30]

[eqn: root {3} of {40} -7 root {3} of {5} + sqrt {root {3} of {25}}]의 식을 간단히 구하면?

④

① [eqn: - root {3} of {5}]	② [eqn: -2 root {3} of {5}]	③ [eqn: -3 root {3} of {5}]

④ [eqn: -4 root {3} of {5}]	⑤ [eqn: -5 root {3} of {5}]

[eqn: a>0], [eqn: b>0]이고, [eqn: sqrt {root {3} of {a ^{4} b ^{2}}} ÷ root {3} of {a ^{4} b ^{2}} TIMES root {6} of {a ^{4} b ^{8}}]의 식을 간단히 구하면?

③

① [eqn: rootab]	② [eqn: a]	③ [eqn: b]

④ [eqn: a root a]	⑤ [eqn: b root b]

[eqn: 3 log _ 3 2 + 1 over2 rm log_3 5 - log_3 8 root5]의 값은?

①

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 8]

첫째항이 [eqn: 27], 공차가 [eqn: -5]인 등차수열 [eqn: left{a_n right}]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: rm S it _{n}]이라고 할 때, [eqn: {rm S}_n]의 최댓값은?

①

① [eqn: 87]	② [eqn: 89]	③ [eqn: 97]

④ [eqn: 99]	⑤ [eqn: 100]

[eqn: f(x)= {a ^{x} -a ^{-x}} over {a ^{x} +a ^{-x}}], [eqn: f( alpha )= {1} over {2}], [eqn: f( beta )= {1} over {3}]일 때, [eqn: f( alpha + beta )]의 값은?
(단, [eqn: a>0])

⑤

① [eqn: 1 over3]	② [eqn: 3 over7]	③ [eqn: 4 over7]

④ [eqn: 2 over3]	⑤ [eqn: 5 over 7]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: log _{a-2} LEFT ( x ^{2} +ax+ {3} over {2} a+4 RIGHT )]가 정의되도록 하는 정수 [eqn: a]의 값의 합은?

③

① [eqn: 15]	② [eqn: 19]	③ [eqn: 22]

④ [eqn: 25]	⑤ [eqn: 27]

두 곡선 [eqn: y=3x ^{3} +2x ^{2} -6x-k], [eqn: y=-5x ^{2} +x]가 서로 다른 세 점에서 만나고 교점의 [eqn: x]좌표가 등비수열을 이룰 때, 실수 [eqn: k]의 값은?

①

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

다음과 같은 수열 [eqn: left{b_n right}]이 있다.
[eqn: {1} over {1} ,``` {1} over {2} ,``` {2} over {2} ,``` {1} over {3} ,``` {2} over {3} ,``` {3} over {3} ,``` {1} over {4} ,``` {2} over {4} ,``` {3} over {4} ,``` {4} over {4} ,``` CDOTS]
[eqn: sum _{k=1} ^{70} b _{k}]의 값은?

③

① [eqn: 116 over3]	② [eqn: 39]	③ [eqn: 118 over3]

④ [eqn: 119 over3]	⑤ [eqn: 40]

[eqn: 6^12]은 [eqn: a]자리의 정수이고, 최고 자리의 숫자를 [eqn: b]로 할 때, [eqn: a over b]의 값을 구하면? (단, [eqn: log2=0.3010], [eqn: log3=0.4771]로 계산한다.)

⑤

① [eqn: 3 over2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 10 over3]

④ [eqn: 9 over2]	⑤ [eqn: 5]

수열 [eqn: left{a_n right}]의 첫째항부터 제 [eqn: n]항까지의 합이 [eqn: sum _k=1 ^n a_k = n^2 + 2n]일 때, [eqn: sum_k=3 ^100 1 over {a_k-1 a_k } = q over p]이다. [eqn: p-q]의 값은? (단, [eqn: p,~q]는 서로소인 두 자연수이다.)

②

① [eqn: 905]	② [eqn: 907]	③ [eqn: 909]

④ [eqn: 911]	⑤ [eqn: 913]

세 실수 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]가 [eqn: 1 over x + 1 over y + 1 over z = 1 over2]과 [eqn: 2^ x = 3^y = 5^ z]을 만족시킬 때, [eqn: sqrt {2 ^{x} 3 ^{y} 5 ^{z}}]의 값을 [eqn: 1000n]이라 한다. 이 때, [eqn: n]의 양의 약수의 총 개수는? (단, 약수는 자연수이다.)

②

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 16]

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: n^2]을 [eqn: 6]으로 나누었을 때의 나머지를 [eqn: a_n]이라고 할 때, [eqn: sum _k=1 ^100 a _k]의 값은?

⑤

① [eqn: 200]	② [eqn: 208]	③ [eqn: 210]

④ [eqn: 214]	⑤ [eqn: 220]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 첫째항이 양의 정수이고, 공비가 [eqn: 3]인 등비수열이고, 수열 [eqn: left{b_n right}]은 등차수열이다. [eqn: b _{1} -a _{1} =a _{2014} -b _{2014}],
[eqn: a _{1} +a _{2} + CDOTS +a _{2014} = rm S], [eqn: b _{1} +b _{2} + CDOTS +b _{2014} = rm T]
라 할 때, [eqn: rm T-S= it pa _{1} +qa _{2014}]이다. 두 유리수 [eqn: p], [eqn: q]에 대하여 [eqn: p-q]의 값은?

④

① [eqn: -5]	② [eqn: -3]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

[eqn: log_3 12]의 정수 부분을 [eqn: x], 소수부분을 [eqn: y]라고 할 때, [eqn: {3 ^{y} -3 ^{-y}} over {3 ^{x} +3 ^{-x}}]의 값은? (단, [eqn: 0<y<1])

②

① [eqn: 19 over328]	② [eqn: 21 over328]	③ [eqn: 23 over328]

④ [eqn: 19 over40]	⑤ [eqn: 21 over40]

서술형

[eqn: 1 CDOT 2+2 CDOT 3+3 CDOT 4+ CDOTS +20 CDOT 21]의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

[eqn: 3080]

[eqn: h >0]일 때, [eqn: n ge 2]인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: (1+h)^n >1+nh]
가 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하는 과정을 서술하시오.

ⅰ) [eqn: n=2]일 때
[eqn: (좌변)=(1+h) ^{2} =1+2h+h ^{2} >1+2h=(우변)]
ⅱ) [eqn: n=k(k GEQ 2)]일 때 주어진 부등식이 성립한다고 가정하면
[eqn: (1+h) ^{k} (1+h)>(1+kh)(1+h)# ````````````````````````````````````````````````````=1+(k+1)h+kh ^{2}# ````````````````````````````````````````````````````>1+(k+1)h]
따라서 [eqn: n=k+1]일 때도 부등식이 성립한다.

ⅰ), ⅱ)에서 주어진 부등식은 [eqn: n GEQ 2]인 모든 자연수 [eqn: n]에

대하여 성립한다.

다음 조건을 만족하는 실수 [eqn: x]를 구하는 과정을 서술하시오. (단, [eqn: LEFT [ x RIGHT ]]는 [eqn: x]보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

[eqn: x=10 ^{{7} over {2}}]

㉠ [eqn: LEFT [ log x RIGHT ] =3]

㉡ [eqn: log x^3 + log 1 over x = LEFT [ log x^3 RIGHT ] + LEFT [ log 1 over x RIGHT ] +1]

[2014년 대진고]

[1학년 2학기 기말]

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